AtasoyWeb | Anasayfa | Arşiv | Dosya Deposu | Anketler | RSS Besleme | Tema Seçim Sayfası

Sık Kullanılanlara Ekle | Hakkında | İletişim

   Hızlı fourier dönüşümü bir sinyalin sahip olduğu frekansların ölçülebilmesini sağladığı için sinyal işlemede sıkça kullanılır. Bu dönüşüm, fourier dönüşümünün özel bir halidir.

   Hızlı fourier dönüşümümün formülü şudur:       N-1
   Xk = ∑ x[n]*e-i*(2Π/N)*k*n
       n=0
   Burada k, sırası gelen frekans elemanını, N örnek sayısını, i karekök(-1) değerini, x() örneklenmiş sinyal verisini, n işlenmeyi bekleyen sıradaki örneğin indisini temsil eder. Kullanılan bir eşitlik daha vardır:    eix = cosx+isinx
   e^x ifadesinin açılımı şöyledir:
                       2       3             n
     x        x       x       x             x
    e = 1 + ----- + ----- + ----- + ... + -----
              1!      2!      3!            n!   x yerine ix değerini yazalım:
                          2       3             n
     ix        ix     (ix)    (ix)          (ix)
    e  = 1 + ----- + ----- + ----- + ... + -----
               1!      2!      3!            n!   i'nin kuvvetlerini yerlerine yazalım:
     2         3         4
    i = -1    i = -i    i = 1

                         2        3       4
     ix         x       x        x       x
    e  = 1 + i----- - ----- - i----- + ----- ...
                1!      2!       3!      4!   i çarpanlarına sahip terimleri i parantezine alıp ayrı iki toplam yazalım:
                2       4       6
     ix        x       x       x
    e  = 1 - ----- + ----- - ----- ...
               2!      4!      6!
 
               3       5       7
        /     x       x       x     \
    + i(x - ----- + ----- - ----- ...) = cosx-isinx
        \     3!      5!      7!    /   Son durumda, x yerine (-x) yazılırsa, bildiğiniz gibi cos eksiyi yutar, sin dışarı atar.(İspatı, sinüs ve cosinüsün seri açılımlarında açıkça görülebilir. Cosinüs, terimlerinde çift kuvvetlere sahip olduğundan eksiyi yutar. Sinüste ise terimler, eksi parantezine alınır.) Ve asıl aradığımız eşitliğe de ulaşmış olduk:
    -ix
    e  =cosx-isinx   İfade iki farklı toplam şeklinde yazılabilir. Bunlardan biri gerçel sayıların, diğeri sanal sayıların toplamı şeklindedir:
              N-1
   Gerçel Xk = ∑ x[n]*cos(2Π/N)*k*n
              n=0
              N-1
    Sanal Xk = ∑ x[n]*(-sin(2Π/N))*k*n
              n=0   Elde edilen değerler sanal düzlemde birer vektörü temsil eder. Son olarak herbir vektörün boyu hesaplanır.
          ________________________
    Xk = √(Gerçel Xk)2 + (Sanal Xk)2   İşte bu değer bize, sinyalin k hertzlik frekansa tepkisini gösterecektir. x(k) her zaman pozitiftir. Gerçek frekans değeri, k değerinin frekans çözünürlüğü ile çarpımı sonucunda elde edilir. Frekans çözünürlüğü örnekleme frekansının, örnek sayısına oranıdır.
         k*SR
    F = ------
          N   Burada X, frekans tepkilerini tutan dizi, k X dizisinin indisi, ve SR örnekleme frekansıdır. k değeri N-1 değerine ulaştırıldığında ve X dizisinin elemanları grafiğe döküldüğünde, grafiğin tam ortadan simetrik olduğu görülecektir. Bu yüzden k sayısı, örnek sayısının yarısından(N/2-1) büyük olmaz, en çok N/2-1 değerinde olur. k maximum değerinde iken yerine yazılırsa:
         N*SR     SR
    F = ------ = ----
         2*N       2eşitliği elde edilir. Bu genel bir kuraldır; bir sinyalin frekansı, örnekleme frekansının yarısından büyük olamaz. Daha doğrusu bir sinyal, sahip olduğu en yüksek frekans değerinin en az 2 katı kadar örnekleme frekansı ile örneklenmelidir. Aksi halde sinyal, örnekleme frekansının yarısını aşan frekans değerlerinin tümünü kaybeder...

Atasoy Blog v3.0 © 2009-2012 Hüseyin Atasoy | Tema Tasarımı: Hüseyin Atasoy

AtasoyWeb Anasayfa | Yukarı Çık