Çekirdek M. III - Polinomal Çekirdeklerin Tanrısı: Gauss Çekirdeği
Önceki: Çekirdek Metodu II - Çekirdek Metodu ve Polinomal Çekirdekler
Bir önceki yazıda çekirdeklerin çok boyutlu uzaylardaki nokta çarpımların sonuçlarını elimizdeki noktalarla kısayoldan hesaplayabilmemizi sağladığını görmüştük. Şimdi ilginç bir çekirdeği açıp inceleyeceğiz:
Yukarıdaki ifade Gauss çekirdeği veya radyal tabanlı fonksiyon (rbf) olarak bilinen çekirdek. Çekirdekte ilk bakışta bir nokta çarpım yokmuş gibi görünüyor. Çekirdek metodunu kullanabilmemiz bir nokta çarpım ifadesi bulunması gerekiyor ki onun yerine orijinal uzaydaki nokta çarpımları yazabilelim. Şimdi hem çekirdekteki nokta çarpımı görmeye hem de bu çekirdeğin neden özel bir çekirdek olduğunu anlamaya çalışalım.
Önce, 2 boyutlu uzayda çalıştığımızı varsayarak sadece fark vektörünün boyunun karesine odaklanalım. Fark vektörünü açarsak:
Görüldüğü gibi Gauss çekirdeğini nokta çarpımlar cinsinden yazabiliyoruz. Okları takip ederek, x ve y vektörlerinin boylarının karelerinin aslında kendileri ile nokta çarpımlarına eşit olduğunu ve aslında fark vektörünün boyunun karesinin, fark vektörünün kendisi ile nokta çarpımına eşit olduğunu görebiliyoruz.
Çekirdeği biraz daha açıp nasıl bir uzaydaki nokta çarpım işlemini temsil ettiğini görmeye çalışalım. γ (gama)'ya geçici olarak 1 diyelim ve e^... ifadesinin Taylor seri açılımını yazalım:
Polinomal çekirdekleri hatırlayıp arada bir bağlantı kurmaya çalışarak son ifadeye bir daha bakalım. Son ifadede parantezin içindeki xyT ifadesi x ve y'nin nokta çarpımı idi. Bu çarpımın n. dereceden kuvveti, n. dereceden bir polinomal çekirdek değil mi? Demek ki buradaki sonsuz terimli toplam ifadesi aslında 0. dereceden sonsuzuncu dereceye kadarki tüm polinomal çekirdekleri içeriyor. Diğer çarpanlar ve oradaki payda kafanızı karıştırmasın. Oradaki bu çarpanları koordinatlardan değer alan ve herhangi bir x-y ikilisi için sabit olan çarpanlar olarak düşünebiliriz.
Bu ifadenin kaç boyutlu bir uzaydaki nokta çarpımı karşılayabileceğini de konuşalım. n. dereceden bir polinomal çekirdek kullanarak x ve y vektörlerini daha yüksek boyutlu bir uzaya taşımak istediğimizde yeni koordinatların, x ve y vektörlerinin koordinatlarının n. dereceye kadarki tüm kuvvetlerinin kombinasyonları ile oluşturulabileceğini önceki yazıda görmüştük. O halde Gauss çekirdeğinde x ve y vektörlerinin herhangi iki kuvvetinin çarpımı, yeni uzaydaki bir koordinat değerine karşılık geliyor olmalı. O zaman yeni uzaydaki koordinat sayısını bulmak için cevaplamamız gereken soru şu; bu ifadede kaç farklı ikili kombinasyon var? Cevap basit; derecelerin sınırı olmadığı için sonsuz tane kombinasyon var (mesela bunlardan biri: x12304y110042016). Demek ki yeni uzaydaki vektörlerin sonsuz tane koordinatı var. Bu harika! Gauss çekirdeği işte bu yüzden sıradan bir çekirdek değil. Çünkü sonlu dereceli polinomal çekirdekler sadece işlemlerin sayısını azaltıyordu ve o çekirdekler olmadan da sonuçları hesaplamak mümkün. Ama Gauss çekirdeği, hesaplanması imkansız olan sonsuz sayıdaki işlemin sonucunun hesaplanabilmesini sağladığı için kesinlikle özel bir çekirdek...
Sonraki: Çekirdek Metodu IV - Yöntemi Bir Probleme Uyarlama
Posted: 10/04/2016 23:16
Keywords: çekirdek metodu, gauss çekirdeği, radyal tabanlı fonksiyon, radial basis function, rbf kernel, kernel trick